§ 57. Равенство работ при использовании простых механизмов. «Золотое правило» механики

фундаментальный принцип классической механики, установленный еще античными учеными и гласящий:

• 1. Каноническая формулировка — ни один простой механизм не даёт выигрыша в работе.
• 2. Закон пропорционального размена — во сколько раз выигрываем в силе, во столько же раз проигрываем в расстоянии (и наоборот: во сколько раз выигрываем в расстоянии или скорости, во столько же раз проигрываем в силе).

• 1. Математическое выражение — при пренебрежении силами трения и весом самого механизма работа действующей внешней силы $A_1$ в точности равна работе по преодолению силы сопротивления груза $A_2$:

$$A_1 = A_2 \quad \text{или} \quad F_1 s_1 = F_2 s_2,$$

где $F_1$ и $F_2$ — действующие силы, $s_1$ и $s_2$ — пути, пройденные точками приложения соответствующих сил.

• 2. Связь с законом сохранения энергии — «золотое правило» механики является прямым историческим предвестником и частным случаем всеобщего закона сохранения и превращения энергии: механическая энергия не возникает из ничего и не исчезает.

• 1. Формула кинематического соотношения рычага:

$$\frac{s_1}{s_2} = \frac{F_2}{F_1},$$

где $s_1$ — путь, проходимый точкой приложения меньшей движущей силы $F_1$, а $s_2$ — высота перемещения большего груза $F_2$.

• 2. Геометрический смысл — дуги или высоты вертикального перемещения концов рычага пропорциональны радиусам вращения (плечам сил): $\frac{s_1}{s_2} = \frac{l_1}{l_2}$.

• 1. Принцип преобразования сил — наклонная плоскость позволяет поднять тяжелый груз весом $P = F_1$ на высоту $h$, прикладывая вдоль плоскости силу тяги $F_2$, существенно меньшую веса груза:

$$\frac{l}{h} = \frac{F_1}{F_2},$$

где $l$ — длина наклонной плоскости (пройденный путь), $h$ — вертикальная высота подъема.

• 2. Доказательство отсутствия выигрыша в работе — перемножая члены пропорции крест-накрест, получаем:

$$F_2 \cdot l = F_1 \cdot h \implies A_2 = A_1.$$

Работа, затраченная на втаскивание груза по наклонной плоскости, строго равна работе прямого вертикального подъема того же груза на ту же высоту.

• 1. Соотношение сил — подвижный блок дает выигрыш в силе в 2 раза:

$$F = \frac{P}{2}.$$

• 2. Соотношение путей — чтобы поднять груз вместе с подвижным блоком на высоту $h$, необходимо выбрать с каждой из двух поддерживающих сторон верёвку длиной $h$, поэтому свободный конец троса должен переместиться на расстояние:

$$s = 2h.$$

• 3. Баланс работ:

$$A_{\text{затр}} = F \cdot s = \left(\frac{P}{2}\right) \cdot (2h) = P \cdot h = A_{\text{полезн}}.$$

Выигрыш в силе ровно в 2 раза сопровождается неизбежной потерей в расстоянии ровно в 2 раза, поэтому выигрыш в работе отсутствует.

Математическое соотношение и вывод:

• При повороте рычага вокруг неподвижной оси точка приложения меньшей силы $\vec{F}_1$ проходит больший путь $s_1$, а точка приложения большей силы нагрузки $\vec{F}_2$ проходит меньший путь $s_2$ ($s_1 > s_2$).
• Опыт и геометрия подобных круговых секторов показывают, что пути, пройденные точками приложения сил, обратно пропорциональны величинам этих сил:

$$\frac{s_1}{s_2} = \frac{F_2}{F_1}.$$

• Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем фундаментальное равенство произведений силы на путь:

$$F_1 s_1 = F_2 s_2.$$

Это соотношение показывает, что произведение силы на перемещение для обоих плеч рычага остается неизменным.

Суть и формулировка «золотого правила» механики:

• Главная формулировка: Ни один из простых механизмов (рычаг, блок, наклонная плоскость, клин, винт, ворот) не даёт выигрыша в механической работе.
• Практическое правило соответствия:

$$\text{Во сколько раз выигрываем в силе, во столько же раз проигрываем в расстоянии.}$$

• Если механизм уменьшает силу, требуемую для подъема или перемещения тела, в $k$ раз ($F = \frac{P}{k}$), то расстояние, на которое необходимо переместить точку приложения этой силы, неизбежно возрастает ровно в те же самые $k$ раз ($s = k \cdot h$).
• Справедливо и обратное: если механизм дает выигрыш в перемещении или скорости (например, весло или предплечье руки), то в силу приходится прикладывать пропорционально большее усилие.

Физико-математическое объяснение:

• Расчет затраченной работы ($A$):

Прикладывая к длинному плечу рычага силу $\vec{F}_1$ и перемещая его конец на расстояние $s_1$, человек совершает работу:

$$A = F_1 s_1.$$

• Расчет полезной работы рычага ($A_{\text{рыч}}$):

Сам рычаг действует на поднимаемый груз с преодолевающей силой $\vec{F}_3$ (равной по модулю весу груза $F_2$) и перемещает его на высоту $s_2$, совершая работу:

$$A_{\text{рыч}} = F_3 s_2 = F_2 s_2.$$

• Сопоставление работ через кинематику рычага:

Так как плечо силы $F_1$ больше плеча силы $F_2$, то по правилу равновесия рычага сила уменьшена во столько же раз, во сколько конец рычага описывает более длинную траекторию:

$$\frac{F_2}{F_1} = \frac{s_1}{s_2} \implies F_1 s_1 = F_2 s_2.$$

• Вывод:

Сравнивая выражения для работ, видим, что:

$$A = A_{\text{рыч}}.$$

Работа внешней силы в точности равна работе, совершенной над грузом. Рычаг позволяет приложить меньшую мускульную силу, но требует переместить точку приложения силы на пропорционально больший путь. В результате затраченная работа остается неизменной, и выигрыша в работе получить невозможно.

Анализ работы наклонной плоскости:

• Ответ: Нет, получить выигрыш в работе с помощью наклонной плоскости категорически невозможно.
• Физическое доказательство:
• Предположим, что груз весом $P = F_1$ поднимается вертикально вверх на высоту $h$. Совершаемая при этом работа равна:

$$A_1 = F_1 h = P h.$$

• Если втаскивать тот же самый груз по гладкой наклонной плоскости длиной $l$, то прикладываемая сила тяги $F_2$ оказывается меньше веса груза $F_1$ в отношении высоты плоскости к её длине:

$$\frac{F_2}{F_1} = \frac{h}{l} \implies F_2 = F_1 \cdot \frac{h}{l}.$$

• Рассчитаем работу силы тяги $A_2$ при перемещении груза по всей длине плоскости $l$:

$$A_2 = F_2 \cdot l = \left(F_1 \cdot \frac{h}{l}\right) \cdot l = F_1 h = A_1.$$

• Учет реальных условий (наличие трения):
• В реальных условиях между поднимаемым телом и наклонной плоскостью всегда действует сила сухого трения $F_{\text{тр}}$.
• Из-за этого прикладываемая сила тяги $F_{\text{тяг}} = F_2 + F_{\text{тр}}$ возрастает, и реальная затраченная работа оказывается даже больше полезной работы подъема ($A_{\text{затр}} > A_{\text{полезн}}$), так как часть энергии необратимо переходит в теплоту.
• Таким образом, ни идеальная, ни тем более реальная наклонная плоскость не может дать выигрыша в работе.