§ 54. Момент силы

скалярная физическая величина, характеризующая вращательное действие силы на твёрдое тело и численно равная произведению модуля действующей силы на её плечо:

• 1. Каноническая формула момента силы:

$$M = F l,$$

где $M$ — момент силы, $F$ — модуль силы, приложенной к телу, $l$ — плечо этой силы (длина перпендикуляра от оси вращения до линии действия силы).

• 2. Физический смысл момента силы — величина $M$ определяет меру способности силы поворачивать тело вокруг неподвижной оси или точки опоры. Вращающий эффект зависит не только от величины силы, но и от расстояния от оси до линии ее приложения.
• 3. Вращение по часовой и против часовой стрелки — силы, действующие на тело, могут стремиться повернуть его в противоположные стороны. Вращательный эффект каждого направления количественно оценивается соответствующим моментом силы.

когерентная единица момента силы в Международной системе единиц (СИ):

• 1. Физическое определение:

$$1\text{ Н}\cdot\text{м} = 1\text{ Н} \cdot 1\text{ м}.$$

Один ньютон-метр — это момент силы, при котором сила в $1\text{ ньютон}$ действует на плече длиной $1\text{ метр}$.

• 2. Фундаментальное отличие от джоуля: хотя по размерности $1\text{ Н}\cdot\text{м} = 1\text{ Дж}$, в механике единицу момента силы называют исключительно «ньютон-метр», чтобы исключить путаницу статического вращающего усилия со скалярной механической работой или энергией.

• 1. Принцип рычажного соотношения — одно и то же по величине вращающее действие (один и тот же момент силы $M$) может быть получено либо большой силой, приложенной на малом плече, либо малой силой, действующей на длинном плече:

$$M = F_{\text{бол}} \cdot l_{\text{мал}} = F_{\text{мал}} \cdot l_{\text{бол}}.$$

• 2. Техническое воплощение — длинный гаечный ключ позволяет малой силой руки создать колоссальный момент на гайке; ручка двери устанавливается у внешнего края полотна для минимизации усилия открывания; длинный ворот лебедки облегчает подъем груза.

• 1. Формулировка для двух сил — рычаг (или любое тело, способное вращаться вокруг закрепленной оси) находится в равновесии под действием двух сил, если момент силы, вращающей его по ходу часовой стрелки, равен моменту силы, вращающей его против хода часовой стрелки:

$$M_1 = M_2 \quad \text{или} \quad F_1 l_1 = F_2 l_2.$$

• 2. Математический вывод из правила Архимеда:

Преобразуем пропорцию равновесия рычага $\frac{F_1}{F_2} = \frac{l_2}{l_1}$ по основному свойству пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$$F_1 l_1 = F_2 l_2.$$

Подставляя определения моментов $M_1 = F_1 l_1$ и $M_2 = F_2 l_2$, получаем условие: $M_1 = M_2$.

• 1. Условие статического равновесия — в случаях, когда на тело с неподвижной осью вращения действует более двух сил, оно находится в равновесии тогда, когда сумма моментов всех сил, вращающих его по ходу часовой стрелки, равна сумме моментов всех сил, вращающих его против хода часовой стрелки:

$$\sum M_{\text{по часовой}} = \sum M_{\text{против часовой}}.$$

• 2. Случай прохождения силы через ось вращения — если линия действия силы проходит через саму ось вращения ($l = 0$), то плечо равно нулю, следовательно, момент силы равен нулю ($M = F \cdot 0 = 0$), и такая сила не способна вызвать вращение.

1. Определение момента силы:

Моментом силы называют физическую величину, характеризующую способность силы вращать тело вокруг неподвижной оси и равную произведению модуля силы на её плечо.

2. Формула момента силы:

Момент силы обозначают прописной латинской буквой $M$ и рассчитывают по формуле:

$$M = F l,$$

где:

• $M$ — момент силы (измеряется в ньютон-метрах, $\text{Н}\cdot\text{м}$);
• $F$ — модуль силы, приложенной к телу (измеряется в ньютонах, $\text{Н}$);
• $l$ — плечо силы, то есть кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы (измеряется в метрах, $\text{м}$).

Момент силы служит количественной мерой вращательного воздействия: чем больше приложенная сила и чем дальше от оси вращения расположена линия ее действия, тем сильнее закручивается тело.

В Международной системе единиц (СИ) единицей момента силы является ньютон-метр ($\text{Н}\cdot\text{м}$).

• Один ньютон-метр (1 Н·м) — это момент силы, при котором сила в $1\text{ Н}$, действующая на плече длиной $1\text{ м}$, стремится повернуть тело вокруг оси:

$$1\text{ Н}\cdot\text{м} = 1\text{ Н} \times 1\text{ м}.$$

Примечание: хотя размерность ньютон-метра совпадает с размерностью единицы работы — джоулем ($1\text{ Дж} = 1\text{ Н}\cdot\text{м}$), момент силы в физике никогда не измеряют в джоулях. Момент силы характеризует статический вращающий эффект относительно оси, тогда как джоуль выражает скалярную механическую работу силы при перемещении тела.

1. Формулировка правила моментов для двух сил:

Рычаг находится в равновесии под действием двух сил, если момент силы, вращающей его по ходу часовой стрелки, равен моменту силы, вращающей его против хода часовой стрелки.

Формула правила моментов:

$$M_1 = M_2,$$

или через произведения сил на их плечи:

$$F_1 l_1 = F_2 l_2.$$

2. Обобщенное правило моментов для системы сил:

В случаях, когда на рычаг или любое вращающееся тело действует более двух сил, тело находится в равновесии, если сумма моментов всех сил, вращающих его по ходу часовой стрелки, равна сумме моментов всех сил, вращающих его против хода часовой стрелки:

$$\sum M_{\text{по часовой стрелке}} = \sum M_{\text{против часовой стрелки}}.$$

Если условиться считать моменты сил одного направления вращения положительными, а противоположного — отрицательными, то условие равновесия тела формулируется как равенство нулю алгебраической суммы всех моментов сил: $\sum M = 0$.

Физическое обоснование на основе формулы момента силы ($M = F l$):

• Случай с гаечным ключом:
• Чтобы стронуть туго затянутую гайку с места, необходимо преодолеть силу сухого трения в резьбе, создав определенный пороговый вращающий момент: $M_{\text{сопр}} = \text{const}$.
• Из формулы момента силы следует, что прикладываемая человеком мускульная сила обратно пропорциональна плечу:

$$F = \frac{M}{l}.$$

• Длинный гаечный ключ обеспечивает большое плечо силы ($l$). Во сколько раз длиннее рукоятка ключа, во столько же раз меньшую силу $F$ требуется развить руке для создания необходимого вращающего момента $M$.
• Случай с дверью:
• Осью вращения двери является вертикальная линия, проходящая через дверные петли.
• Дверная ручка монтируется у самого дальнего края двери, обеспечивая максимально возможное плечо силы ($l$). Благодаря этому даже слабое нажатие пальцем создает достаточный момент $M$, чтобы плавно повернуть тяжелое полотно двери.
• Если попытаться толкать дверь вблизи петель ($l \to 0$), плечо силы становится ничтожным, и человеку приходится прикладывать колоссальное усилие, чтобы получить тот же самый вращающий момент.

Анализ условия и вывод:

• Если линия действия приложенной силы проходит непосредственно через ось вращения тела, то перпендикуляр, опущенный из оси на линию действия силы, вырождается в точку. Следовательно, плечо силы равно нулю:

$$l = 0.$$

• Подставив значение $l = 0$ в базовую формулу момента силы, получаем:

$$M = F \cdot l = F \cdot 0 = 0.$$

• Вывод: Момент силы, линия действия которой проходит через ось вращения, строго равен нулю ($M = 0$) при любой величине силы $F$.

Такая сила не способна вызвать поворот или вращение тела вокруг данной оси (она лишь создает нагрузку на саму ось или опору). Например, если толкать или тянуть дверь за ручку строго в плоскости двери по направлению к петлям, дверь ни при каких усилиях не откроется.