§ 17. Расчёт пути и времени движения

математическое нахождение расстояния, преодолеваемого телом в процессе механического движения:

• 1. При равномерном движении — путь равен произведению постоянной скорости тела на время его движения: $s = vt$. Пройденный путь прямо пропорционален времени движения ($s \sim t$ при $v = \text{const}$): во сколько раз дольше длится движение, во столько же раз больший путь проходит тело.
• 2. При неравномерном движении — пройденный путь вычисляется через произведение средней скорости на полное время движения: $s = v_{\text{ср}}t$.
• 3. Взаимная согласованность единиц — при вычислениях единицы скорости и времени должны строго соответствовать друг другу (если скорость выражена в $\text{км/ч}$, время необходимо брать в часах; если в $\text{м/с}$ — время строго в секундах).

определение временного интервала, необходимого телу для преодоления заданного расстояния:

• 1. Формула для равномерного движения — время находится делением пройденного пути на скорость движения тела: $t = \frac{s}{v}$.
• 2. Формула для неравномерного движения — полное время находится делением суммарного пути на среднюю скорость: $t = \frac{s}{v_{\text{ср}}}$.
• 3. Практическое значение — позволяет точно прогнозировать расписание рейсов, планировать время прибытия транспортных средств в пункт назначения и рассчитывать интервалы пересадок.

наглядное графическое представление изменения пройденного расстояния с течением времени в прямоугольной (декартовой) системе координат:

• 1. Построение и форма линии — по оси абсцисс откладывается время ($t$), по оси ординат — путь ($s$). Для равномерного движения графиком является прямая наклонная линия, берущая начало в точке отсчёта $(0; 0)$.
• 2. Физический смысл наклона — угол наклона графика к оси времени однозначно характеризует скорость тела: чем больше угол наклона (чем круче поднимается прямая), тем выше скорость тела ($v = \frac{s}{t}$).
• 3. Инвариантность выбора точек — при равномерном движении отношение ординаты к абсциссе ($\frac{s}{t}$) одинаково абсолютно для любой выбранной точки прямой, что позволяет брать координаты любого удобного пересечения сетки для расчёта скорости.

кинематическая диаграмма, отображающая изменение модуля скорости во времени:

• 1. Форма при равномерном движении — поскольку модуль скорости остаётся строго неизменным ($v = \text{const}$), графиком является прямая горизонтальная линия, строго параллельная оси времени ($t$).
• 2. Геометрический смысл площади — площадь прямоугольной фигуры под графиком скорости, ограниченная вертикалями моментов времени $t_1$ и $t_2$, численно в точности равна пройденному телом пути $s$ за этот интервал времени ($S_{\text{фигуры}} = v \cdot t = s$).

Ответ:

а) При равномерном движении: путь равен произведению скорости движения тела на время:

$$s = vt$$

б) При неравномерном движении: путь равен произведению средней скорости тела на полное время движения:

$$s = v_{\text{ср}}t$$

Ответ:

а) При равномерном движении: время равно отношению пройденного пути к скорости движения:

$$t = \frac{s}{v}$$

б) При неравномерном движении: время равно отношению всего пройденного пути к средней скорости:

$$t = \frac{s}{v_{\text{ср}}}$$

Потому что при равномерном движении скорость тела постоянна на протяжении всего времени ($v = \text{const}$).

Обоснование:

• Графиком зависимости пути от времени $s(t)$ для равномерного движения является прямая линия, выходящая из начала координат.
• Согласно свойствам подобия геометрических треугольников, для любой точки на этой прямой отношение координаты пути $s$ к координате времени $t$ является постоянной величиной:

$$\frac{s_1}{t_1} = \frac{s_2}{t_2} = \dots = \frac{s}{t} = v = \text{const}$$

• Поэтому, какую бы точку на прямой мы ни выбрали (кроме точки начала координат $(0; 0)$), результат деления пройденного пути на соответствующее время даст в точности одно и то же численное значение скорости тела.

Условия задач:

• Задача Ивана (путь прямо пропорционален времени, $s \sim t$ при $v = \text{const}$):
• Условие: «Автомобиль движется по скоростной магистрали с постоянной скоростью $80\text{ км/ч}$. Какой путь преодолеет автомобиль за $1\text{ час}$, $2\text{ часа}$ и $3\text{ часа}$ непрерывного движения?»
• Пояснение: Здесь скорость движения постоянна и неизменна ($v = \text{const}$), поэтому при увеличении времени движения в $2$ и в $3$ раза пройденный телом путь также увеличивается ровно в $2$ и в $3$ раза ($80\text{ км}$, $160\text{ км}$, $240\text{ км}$).
• Задача Гоши (путь прямо пропорционален скорости, $s \sim v$ при $t = \text{const}$):
• Условие: «Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались в течение одного и того же фиксированного времени — ровно $2\text{ часа}$. Пешеход двигался со скоростью $5\text{ км/ч}$, велосипедист — $15\text{ км/ч}$, а мотоциклист — $60\text{ км/ч}$. Найдите путь, пройденный каждым участником движения за это время, и сравните их.»
• Пояснение: Здесь строго зафиксировано время движения ($t = 2\text{ ч} = \text{const}$), поэтому пройденный путь определяется исключительно скоростью ($s = v \cdot t$): велосипедист, чья скорость в $3$ раза выше скорости пешехода, проезжает путь ровно в $3$ раза больший ($30\text{ км}$ против $10\text{ км}$), а мотоциклист — в $12$ раз больший ($120\text{ км}$).