§ 42. Примеры на расчёт сопротивления проводника, силы тока и напряжения

одновременное математическое совмещение закона Ома для участка цепи и формулы электрического сопротивления проводника:

• 1. Базовая система уравнений — $I = \frac{U}{R}$ и $R = \frac{\rho l}{S}$.
• 2. Объединённые рабочие уравнения — связывают силу тока ($I$), напряжение ($U$), удельное сопротивление ($\rho$), длину проводника ($l$) и площадь сечения ($S$).

• 1. Для расчёта силы тока — $I = \frac{U}{R} = \frac{U}{\frac{\rho l}{S}} = \frac{U \cdot S}{\rho \cdot l}$.
• 2. Для расчёта напряжения — $U = I \cdot R = I \cdot \frac{\rho l}{S} = \frac{I \cdot \rho \cdot l}{S}$.
• 3. Для расчёта длины проводника — $l = \frac{R \cdot S}{\rho} = \frac{U \cdot S}{I \cdot \rho}$.
• 4. Для расчёта площади поперечного сечения — $S = \frac{\rho \cdot l}{R} = \frac{I \cdot \rho \cdot l}{U}$.

строгий академический метод решения, при котором искомая физическая величина выражается аналитической алгебраической формулой через буквенные обозначения заданных величин без промежуточных числовых вычислений:

• 1. Преимущества метода — исключает накопление погрешностей округления, наглядно раскрывает физическую зависимость между величинами и позволяет провести проверку размерности.

процедура контроля правильности полученной в общем виде формулы путём подстановки наименований единиц измерения величин в правую часть равенства:

• 1. Критерий истинности — полученная в результате алгебраических сокращений результирующая единица должна в точности совпадать с эталонной единицей искомой величины в СИ. Если единицы не совпадают, в выводе формулы допущена ошибка.

Условие задачи: Напряжение на концах константановой проволоки длиной $20\text{ м}$ и площадью поперечного сечения $1{,}25\text{ мм}^2$ равно $40\text{ В}$. Рассчитайте силу тока в проволоке.

Дано:

$l = 20\text{ м}$

$S = 1{,}25\text{ мм}^2$

$U = 40\text{ В}$

$\rho = 0{,}5\text{ }\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$ (из табл. 9 учебника для константана)

Найти:

$I$ — ?

Решение в общем виде:

• Согласно закону Ома для участка цепи, сила тока равна:

$$I = \frac{U}{R}$$

• Сопротивление однородного металлического проводника определяется его размерами и удельным сопротивлением материала:

$$R = \frac{\rho l}{S}$$

• Подставим выражение для сопротивления $R$ в формулу закона Ома:

$$I = \frac{U}{\frac{\rho l}{S}} = \frac{U \cdot S}{\rho \cdot l}$$

Получена итоговая расчётная формула в общем виде.

Проверка размерности единиц:

$$[I] = \frac{[U] \cdot [S]}{[\rho] \cdot [l]} = \frac{\text{В} \cdot \text{мм}^2}{\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} \cdot \text{м}} = \frac{\text{В} \cdot \text{мм}^2}{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2} = \frac{\text{В}}{\text{Ом}} = \text{А}$$

Единица силы тока — ампер (А). Формула верна.

Вычисление числового значения:

$$I = \frac{40 \cdot 1{,}25}{0{,}5 \cdot 20} = \frac{50}{10} = 5\text{ А}$$

Ответ: $I = 5\text{ А}$.

Условие задачи: Чему равно сопротивление алюминиевого провода длиной $400\text{ м}$ и площадью поперечного сечения $4\text{ мм}^2$?

Дано:

$l = 400\text{ м}$

$S = 4\text{ мм}^2$

$\rho = 0{,}028\text{ }\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$ (из табл. 9 учебника для алюминия)

Найти:

$R$ — ?

Решение:

Сопротивление проводника выражается формулой:

$$R = \frac{\rho l}{S}$$

Проверка единиц:

$$[R] = \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} \cdot \frac{\text{м}}{\text{мм}^2} = \text{Ом}$$

Вычисление:

$$R = 0{,}028\text{ }\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} \cdot \frac{400\text{ м}}{4\text{ мм}^2} = 0{,}028 \cdot 100 = 2{,}8\text{ Ом}$$

Ответ: $R = 2{,}8\text{ Ом}$.

Условие задачи: Катушка состоит из нихромовой проволоки длиной $150\text{ м}$ и площадью поперечного сечения $0{,}75\text{ мм}^2$. Определите напряжение на её концах, если сила тока в катушке равна $40\text{ мА}$.

Дано:

$l = 150\text{ м}$

$S = 0{,}75\text{ мм}^2$

$I = 40\text{ мА} = 0{,}04\text{ А}$

$\rho = 1{,}1\text{ }\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$ (из табл. 9 учебника для нихрома)

Найти:

$U$ — ?

Решение в общем виде:

• По закону Ома для участка цепи:

$$I = \frac{U}{R} \implies U = I \cdot R$$

• Выражение для сопротивления катушки:

$$R = \frac{\rho l}{S}$$

• Подставляя выражение для $R$, получаем общую формулу напряжения:

$$U = I \cdot \frac{\rho l}{S} = \frac{I \cdot \rho \cdot l}{S}$$

Проверка размерности единиц:

$$[U] = \frac{\text{А} \cdot \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} \cdot \text{м}}{\text{мм}^2} = \frac{\text{А} \cdot \text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{мм}^2} = \text{А} \cdot \text{Ом} = \text{В}$$

Единица напряжения — вольт (В). Формула верна.

Вычисление числового значения:

$$U = \frac{0{,}04 \cdot 1{,}1 \cdot 150}{0{,}75} = \frac{6{,}6}{0{,}75} = 8{,}8\text{ В}$$

Ответ: $U = 8{,}8\text{ В}$.