§ 42. Примеры на расчёт сопротивления проводника, силы тока и напряжения

ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ ГЕОРГА ОМА

Когда Георг Ом в 1820-х годах проводил свои первые опыты, природу электричества ещё не связывали с электронами. Чтобы понять и наглядно описать физические закономерности, Ом построил изящную гидродинамическую аналогию, уподобив электрический ток течению воды по трубе (рис. 103):

• Электрическое напряжение ($U$) $\leftrightarrow$ перепад уровней воды: вода самопроизвольно перетекает из верхнего сосуда в нижний под действием силы тяжести. Чем больше разность уровней жидкости, тем сильнее напор и тем быстрее движется водный поток. В электрической цепи роль перепада высот играет разность потенциалов — напряжение $U$.
• Сила тока ($I$) $\leftrightarrow$ расход воды: объём воды, протекающий через поперечное сечение трубы за единицу времени, в точности соответствует электрическому заряду, переносимому через сечение проводника за 1 секунду.
• Электрическое сопротивление проводника ($R$) $\leftrightarrow$ гидравлическое сопротивление трубы: стенки трубы препятствуют току воды из-за внутреннего трения. Чем длиннее труба ($l$), тем дольше вода преодолевает сопротивление. Чем тоньше труба (меньше сечение $S$), тем труднее воде протиснуться сквозь узкий просвет. Точно так же ведёт себя электрический проводник: его сопротивление растёт с увеличением длины и уменьшается с расширением поперечного сечения.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ КОМБИНИРОВАННЫХ ЗАДАЧ

В реальных электротехнических расчётах закон Ома и геометрическая формула сопротивления всегда работают в неразрывной связке:

Стандартный алгоритм решения:

1. Запись «Дано» и согласование единиц: аккуратно перевести значения в основные единицы (например, миллиамперы в амперы: $1 \text{ мА} = 10^{-3} \text{ А}$).
2. Внимание к единицам площади ($S$) и удельного сопротивления ($\rho$): если значение $\rho$ берётся из справочной таблицы в практических единицах $\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$, площадь сечения $S$ подставляется строго в квадратных миллиметрах ($мм^2$), а длина $l$ — в метрах (м). Переводить площадь в квадратные метры не требуется!
3. Получение рабочей формулы в общем виде: связать формулу Ома и формулу сопротивления аналитически, выразив искомую величину единым алгебраическим выражением до подстановки чисел.
4. Проверка размерности: подставить в рабочую формулу наименования единиц физических величин, выполнить математические сокращения и убедиться, что получена требуемая единица (А, В или Ом).
5. Арифметический расчёт и запись ответа.

РАЗБОР ТРЁХ БАЗОВЫХ ТИПОВ ЗАДАЧ

#### Тип 1. Прямой расчёт сопротивления линии электропередачи

• Условие: Чему равно сопротивление алюминиевого провода длиной $400$ м и площадью поперечного сечения $4$ $мм^2$?
• Решение:

Из таблицы удельных сопротивлений выписываем для алюминия: $\rho = 0{,}028 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$.

Используем формулу сопротивления:

• Методический вывод: Квадратные миллиметры сечения и метры длины сокращаются с размерностью константы $\rho$, оставляя чистый результат в омах ($2{,}8$ Ом).

#### Тип 2. Расчёт силы тока в проводнике при известном напряжении

• Условие: Напряжение на концах константановой проволоки длиной $20$ м и площадью поперечного сечения $1{,}25$ $мм^2$ равно $40$ В. Определите силу тока в проволоке.
• Решение через аналитическую формулу в общем виде:

Удельное сопротивление константана: $\rho = 0{,}5 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$.

Подставим формулу сопротивления проводника в закон Ома:

• Проверка размерности:

• Числовой расчёт:

(Поэтапный путь даёт идентичный результат: $R = 0{,}5 \cdot 20 / 1{,}25 = 8$ Ом; затем $I = 40 \text{ В} / 8 \text{ Ом} = 5$ А).

#### Тип 3. Расчёт падения напряжения на катушке с переводом единиц

• Условие: Катушка намотана из нихромовой проволоки длиной $150$ м и площадью сечения $0{,}75$ $мм^2$. Определите напряжение на концах катушки, если сила протекающего тока равна $40$ мА.
• Решение:

1. Перевод в СИ: $I = 40 \text{ мА} = 40 \cdot 10^{-3} \text{ А} = 0{,}04 \text{ А}$.
2. Удельное сопротивление нихрома по таблице: $\rho = 1{,}1 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$.
3. Вывод рабочей формулы:

1. Проверка единиц величин:

1. Подстановка чисел:

ТИПИЧНЫЕ ИНЖЕНЕРНЫЕ СИТУАЦИИ И ХИТРОСТИ

В олимпиадных и практических задачах часто встречаются геометрические трансформации проводников:

• Разрезание и параллельное скручивание проволоки:

Если однородную проволоку разрезать ровно пополам и полученные половинки плотно скрутить вместе:

• Длина каждого отрезка уменьшается в $2$ раза ($l' = l / 2$);
  • Площадь общего поперечного сечения удваивается ($S' = 2S$);
  • Итоговое сопротивление уменьшается в 4 раза:

• Многожильный кабель:

Если провод состоит из $n$ одинаковых тонких проволочек сечением $S_1$ каждая, то общее сечение кабеля равно $S_{\text{общ}} = n \cdot S_1$. Сопротивление такого жгута оказывается в $n$ раз меньше, чем у одиночной тонкой жилы, при сохранении высокой гибкости провода.