§ 24. Расчёт массы и объёма тела по его плотности

аналитический метод нахождения массы однородного тела без прямого взвешивания, основанный на умножении плотности вещества на занимаемый им геометрический объем.

• 1. Расчетная формула:

$$m = \rho \cdot V$$

• 2. Физический смысл — масса тела прямо пропорциональна его объему при постоянной плотности вещества ($m \sim V$).
• 3. Единицы измерения — если плотность выражена в $\text{кг}/\text{м}^3$, а объем в $\text{м}^3$, то масса получается в килограммах ($\text{кг}$); если плотность в $\text{г}/\text{см}^3$, а объем в $\text{см}^3$, то масса получается в граммах ($\text{г}$).

аналитический метод определения геометрической вместимости или внешнего объема тела, равный отношению его массы к плотности вещества.

• 1. Расчетная формула:

$$V = \frac{m}{\rho}$$

• 2. Физический смысл — объем тела прямо пропорционален его массе и обратно пропорционален плотности материала при фиксированной массе ($V \sim \frac{1}{\rho}$).
• 3. Определение объема тел неправильной формы — метод позволяет точно вычислить объем конструктивно сложных деталей, зная массу детали и табличную плотность сплава, из которого она отлита.

строгий математический пересчет размерностей массы, объема и плотности при решении расчетных физических задач:

• 1. Правило системы СИ:

$$[m] = [\rho] \cdot [V] \quad \Longrightarrow \quad \text{кг} = \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot \text{м}^3$$

$$[V] = \frac{[m]}{[\rho]} \quad \Longrightarrow \quad \text{м}^3 = \frac{\text{кг}}{\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = \text{м}^3$$

• 2. Перевод единиц объема:

$$1\text{ л} = 1\text{ дм}^3 = 0{,}001\text{ м}^3 = 10^{-3}\text{ м}^3$$

$$1\text{ см}^3 = 0{,}000001\text{ м}^3 = 10^{-6}\text{ м}^3$$

• 3. Перевод единиц массы:

$$1\text{ т} = 1000\text{ кг} = 10^3\text{ кг}$$

$$1\text{ г} = 0{,}001\text{ кг} = 10^{-3}\text{ кг}$$

технологический критерий подбора конструкционных материалов для машин, строительных сооружений, летательных аппаратов и космической техники:

• 1. Оптимизация массы конструкций — для авиационной и ракетно-космической техники критически важно применять материалы, обладающие предельно высокой механической прочностью при минимальной плотности (алюминиевые сплавы $\rho \approx 2700\text{ кг}/\text{м}^3$, титановые сплавы $\rho \approx 4500\text{ кг}/\text{м}^3$, углепластики и композиты $\rho \approx 1400\text{--}1800\text{ кг}/\text{м}^3$).
• 2. Строительное материаловедение — в возведении несущих конструкций и фундаментов используют плотные материалы высокой прочности (бетон $2300\text{ кг}/\text{м}^3$, сталь $7800\text{ кг}/\text{м}^3$), а для теплоизоляции зданий — материалы с микропористой структурой и низкой плотностью (пенобетон, минеральная вата, пенополистирол).
• 3. Учет вместимости резервуаров — точный расчет допустимой грузоподъемности автоцистерн, железнодорожных цистерн и танкеров при транспортировке жидкого топлива и сжиженных газов.

физический принцип, согласно которому тело, полностью погруженное в жидкость, вытесняет объем жидкости, в точности равный собственному объему погруженного тела:

• 1. Равенство объемов:

$$V_{\text{вытесн. жидкости}} = V_{\text{тела}}$$

• 2. Расчет массы вытесненной жидкости:

$$m_{\text{вытесн. жидкости}} = \rho_{\text{жидкости}} \cdot V_{\text{тела}} = \rho_{\text{жидкости}} \cdot \frac{m_{\text{тела}}}{\rho_{\text{тела}}}$$

• 3. Практическое значение — лежит в основе градуировки мензурок, отливных сосудов («эврика») и гидростатического взвешивания.

Чтобы определить массу тела, зная плотность его вещества и объём, необходимо плотность умножить на объём тела.

Математическая формула выводится непосредственно из базового определения плотности ($\rho = \frac{m}{V}$):

$$m = \rho \cdot V$$

где:

• $m$ — масса тела (в $\text{кг}$ или $\text{г}$);
• $\rho$ — плотность вещества (в $\text{кг}/\text{м}^3$ или $\text{г}/\text{см}^3$);
• $V$ — объём тела (в $\text{м}^3$ или $\text{см}^3$).

Важное правило: перед вычислением необходимо обязательно согласовать единицы измерения плотности и объёма (например, если объём дан в $\text{м}^3$, плотность должна быть взята в $\text{кг}/\text{м}^3$; если объём в $\text{см}^3$ — плотность в $\text{г}/\text{см}^3$).

Чтобы определить объём тела, зная его массу и плотность вещества, необходимо массу тела разделить на его плотность.

Математическая формула для расчета объёма:

$$V = \frac{m}{\rho}$$

где:

• $V$ — объём тела (в $\text{м}^3$ или $\text{см}^3$);
• $m$ — масса тела (в $\text{кг}$ или $\text{г}$);
• $\rho$ — плотность вещества (в $\text{кг}/\text{м}^3$ или $\text{г}/\text{см}^3$).

Следствие формулы: при одинаковой массе тел объём тела тем меньше, чем плотнее вещество, из которого оно изготовлено.